• Concepto de abundancia

• Probabilidad de detección

• Metas de trabajo grupal

• Metas para la próxima semana

Cantidad de individuos que están delimitados de alguna forma

• Geográfica: Delimitación natural de un ecosistema asociado con la especie.

• Genética: Aislamiento repoductivo.

• Artificial: Beaker, Parque Nacional.

La abundancia depede de la densidad. Y la densidad depende, entre otras cosas, de la adecuación del hábitat y la salud de la población.

• La abundancia es una variable dinámica.

• La natalidad, mortalidad, inmigración y emigración la modifican constantemente.

• Abundancia en una población abierta: Influyen los cuatro factores anteriores

• Abundancia en una población cerada: Solo se toma en cuenta el crecimiento (Natalidad – Mortalidad)

• La abundancia es independiente del método utilizado para estimarla.

• Los conteos… no.

• Incluso un indicador de abundancia, es diferente de un conteo.

La diferencia radica, en que el conteo depende de la abundancia y la probabilidad de detección.

## Probabilidad de detección

El principio es muy sencillo. Cada individuo durante un muestreo tiene dos estados: detectado, o no detectado. Por tanto, la cantidad de individuos que fueron observados, son una porción del total de individuos. Si tamaño poblacional es igual a \(N\), entonces, podemos decir que:

\[ N = \frac{y}{p} \]

\[ y \sim \text{Binomial}\left( N,p\right) \]

Pero surge un problema. Debemos estimar dos parámetros (\(N\), y \(p\)), con un solo dato (conteos).

Para ello se han desarrollado muchos protocoles de muestreo, que aportan información adicional para el análisis de datos:

• Consiste en hacer un conteo de animales y reportar junto a cada animal observado, la distancia perpendicular al transepto de muestreo.

• Usualmente utilizado para el conteo de animales grandes

• En existe el paquete rdistance.

• Se utiliza en animales marcados.

• Cada animal genera un historial de captura/recaptura, de acuerdo al número de ocasiones de muestreo.

Estos modelos se basan en una extensión de la distribución de probabilidad Binomial, llamada distribución multinomial.

• Rmark.

• Basado en la proporción de individuos que son capturados de una ocasión de remoción a la siguiente.

• Por ejemplo, si en la primer remoción capturo 100 individuos, en la segunda capturo 50 individuos, y en la tercera capturo 25 indivudos, la probabilidad de captura es \(p=0.5\)

• El paquete unmarked contiene métodos para muestreo por remoción.

• Mezcla los modelos de remoción, con los de captura y recaptura.

El muestreo consiste en dos observadores, el principal anota todas sus observaciones, y las dice al observador secundario. Luego, el secundario anota, cualquier otro individuo que no fue visualizado por el observador primario. Con estos datos, se calcula la probabilidad de detección, y se estima la abundancia.

• El paquete unmarked contiene métodos para muestreo por doble observador.

Simulando los datos…

set.seed(1937)
y <- rbinom(n = 5, size = 100, prob = 0.3)

# n es el número de repeticiones, size = sería el tamaño poblacional
# y prob la probabilidad de captura

y

## [1] 32 30 34 28 35

Necesitamos conocer la probabilidad de observar esos datos. Dado el valor de un parámetro, para luego maximizar esta función

\[ L(N) = \prod_{i =1}^n\text{Binomial}( y_{i} |N,p) \]

Sacamos logaritmos y negamos la expresión para que la computación sea más fácil.

\[ nlL(N) = (-1)\times\sum_{i =1}^n \log\left( \text{Binomial}(N|y_i,p)\right) \]

Traducimos a R:

# Función de 'menos log-verosimilitud'
nlL <- function(p){#p, se refiere a parámetros. 
  N <- floor(p[1]) #floor toma el entero
  valor <- -1*sum( dbinom(y, size = N, prob = 0.3,log = TRUE) )
  
  # A veces trabajar con logaritmos genera valores irreales.
  # Solo queremos valores válidos. El paso de abajo hace esto.
  valor <- valor[which(!is.na(valor) | !is.nan(valor) | valor != -Inf)]
  return(valor)
}

Optimizamos

salida <-
  optim(
  par = c(mean(y) / 0.3),
  fn = nlL,
  method = "Brent",
  lower = 0,
  upper = 1e6
  )

salida

Si no existe información previa…

La verosimilitud es proporcional a una distribución de probabilidad

Estimación de \(N\) y \(p\) por medio de muestreos con remoción.

El modelo:

\[ y_i \sim \begin{cases} \text{Bin}(N,p),\ k=1\\ \text{Bin}(N-\sum_{i=1}^k y_i,p),\ k>1 \end{cases} \]

set.seed(1934)
N <- 100
p <- 0.30
n <- 5# número de remociones
y <- numeric()

for ( k in 1:n){
  if (k==1){
    y. <- rbinom(n = 1, size = 100, prob = p)
    y <- append(y,y.)
  } else {
    y. <- rbinom(n = 1,size = 100 - sum(y), prob = p)
    print(sum(y))
    y <- append(y,y.)
  }
  
}
# n es el número de repeticiones, size = sería el tamaño poblacional
# y prob la probabilidad de captura

cat("el vector de conteos es ",y,"\n")

Calculamos una nueva variable, que nos ayuda en el proceso.

\[ c_i = \begin{cases} 0,\ k=1\\ \sum_{i=1}^k y_i,\ k>1 \end{cases} \]

c <- 0

c <- append(c,cumsum(y), after = 1)

c <- c[-length(c)]# último elemento no se usa

c

## [1]  0 28 48 60 69

Ahora nuestra función de verosimilitud es:

\[ nlL(N,p) = \sum_{i =1}^n \log\left( \text{Binomial}(y_i|N-\mathrm{c_i},p)\right) \]

Nótese la inclusión de \(c\) en la función.

# Función de 'menos log-verosimilitud'
nlL <- function(p,c){#p, se refiere a parámetros. 
  N <- floor(p[1])
  N <- ifelse(N <= max(c), max(c), N)# Si es menor al número acumulado de
                              #individuos, lo fija al límite inferior.
  x <- p[2]
  probCap <- exp(x)/(1+exp(x))# calcula un valor entre 0 y 1
  
  valor <- -1*sum( dbinom(y, size = N-c, prob = probCap,log = TRUE) )
  
  # A veces trabajar con logaritmos genera valores irreales.
  # Solo queremos valores válidos. El paso de abajo hace esto.
  valor <- valor[which(!is.na(valor) | !is.nan(valor) | valor != -Inf)]
  return(valor)
}

gen <- function(p,c){#p, se refiere a parámetros. 
  N <- floor(p[1])
  N <- ifelse(N <= max(c), max(c)+1, N)
  N <- N + sample(c(-1,1),size=1,prob = c(0.5,0.5))
  
  x <- p[2]
  x <- x + rnorm(1,0,0.2)
  return(p=c(N,x))
}

salida <-
  optim(
  par = c(max(c)*1.1,0),# valores iniciales
  fn = nlL,
  gr = gen,
  c=c,
  method = "SANN",
  control = list(maxit=50000)
  )

salida

## $par
## [1] 91.0000000 -0.8094811
## 
## $value
## [1] 10.51949
## 
## $counts
## function gradient 
##    50000       NA 
## 
## $convergence
## [1] 0
## 
## $message
## NULL

En este caso particular, tenemos que convertir a una escala apropiada para probabilidades, el segundo valor de salida$par. Para ello, utilizamos una función llamada expit que mapea los valores \(expit: \left\{-\infty,\infty\right\} \mapsto \left\{0,1\right\}\). La función expit es igual a \(exp(x)/(1+exp(x))\).

p_est <- exp(salida$par[2])/(1+exp(salida$par[2]))
p_est

## [1] 0.3080011

…? Era para hoy…

Procedimiento de campo.

Base de datos, en blanco… Excel

Pendientes de la semana tras-anterior

• Procedimiento de análisis

• Salida de la UNA Mier. 16, 6:30 am

• Llevar manga larga, protección solar, gorra, gafas.

• Watershoes

• ó… Zapato cerrado, y ajustado, suela dura. Se van a mojar. Sandalias sueltas no se permiten.

• Al menos, 4 litros de agua por persona.

• Llevar comida, para cocinar allá.

• Ropa de cama, mosquitero, repelente.

• Bolsas para ropa húmeda.

• Libreta de campo. Preferiblemente resistente al agua.

• Salir desayunados… llegamos a tabajar.

No llevar

• Computadora, objetos valiosos.

Regresamos jueves a las 14:00. Clases con Meyer